Składnik losowy – biały szum

założenia regresji logistycznej

 

Składnik losowy i diagnostyka modelu ekonometrycznego.

Kształtowanie się składnika losowego w modelu ekonometrycznym, jest jednym z podstawowych źródeł wiedzy na temat tego, czy model został zbudowany prawidłowo.

Jego wartość to różnica pomiędzy wartością empiryczną w danym okresie, a oszacowaną wartością teoretyczną dla wartości zmiennych objaśniających w danym okresie (bądź wcześniejszych, w przypadku szeregów ze zmiennymi endogenicznymi opóźnionymi w czasie). Z definicji model (w szerokim znaczeniu) to uproszczony obraz rzeczywistości. W takim razie budując model ekonometryczny, chcemy „uprościć” pewne zjawiska zachodzące w ekonomii, do postaci funkcji. Jednocześnie oczekujemy, że model będzie w jak najlepszym stopniu oddawał rzeczywistość, co za tym idzie różnica pomiędzy wartością, która wystąpiła w rzeczywistości (empiryczna), a tym co obliczyliśmy na podstawie modelu (teoretyczna), będzie jak najmniejsza, czyli jak najbliższa zeru.

Zgodnie ze stochastycznymi założeniami, standardowy liniowy model ekonometryczny ma kilka charakterystycznych cech dotyczących składników losowych. Po pierwsze, tak jak już zostało wspomniane, składniki losowe oscylują wokół zera, co możemy zapisać jako Eξt-=0. Wariancje są stałe (Eξt2ξ2) oraz nieskorelowane w czasie (Eξtξt-j=0, j=1,2,…). Przyjmujemy również, że mają rozkład normalny t~N(0;σt2)). Odrzucamy również możliwość występowania korelacji ze zmiennymi objaśniającymi (Eξtxti=0, i=1,…,K).

Choć brzmi to skomplikowanie, to jest to łatwiejsze niż się wydaje. Zacznijmy od tego że, jeżeli składnik losowy kształtowałby się według jakiegoś schematu, to nie bardzo moglibyśmy mówić o jakiekolwiek losowości. Oznaczałoby to dla nas tyle, że w tej reszcie „coś się dzieje”, a model nie został zbudowany prawidłowo. Skoro widzimy, że coś się dzieje, to wypadałoby dojść do tego, co tam się kryje. Najprawdopodobniej w wartościach składnika losowego, w przypadku wystąpienia jego autokorelacji, zawarty jest jakiś czynnik mający spory wpływ na kształtowanie się zmiennej objaśnianej. Czynnik, którego nie wzięliśmy pod uwagę rozważając to, co może wpływać na badane przez nas zagadnienie. Jedną z szybkich metod, mających na celu oczekiwany spadek współczynnika autokorelacji jest dodanie do modelu zmiennej endogenicznej opóźnionej w czasie, ale o tym kiedy indziej bo to dużo bardziej skomplikowana sprawa.

Jeżeli wszystkie powyższe założenia [(Eξt-=0), (Eξt2ξ2), (Eξtξt-j=0, j=1,2,…), (ξt~N(0;σt2)] w przypadku analizowanego przez nas modelu, okazują się być prawdziwe, to możemy składniki zakłócające pojmować jako generowane przez proces białego szumu. W takim przypadku wszystkie współczynniki autokorelacji oraz współczynniki autokorelacji cząstkowej będą zerowe, nieistotne statystycznie (ρj=0  ϕjj=0 (j=1,2,…,s)). By określić czy występuje biały szum, musimy dokonać testów odpowiednich hipotez. Wśród nich znajdują się np. statystyka Quenouille’a czy statystyka Durbina-Watsona. W następnych wpisach pojawią się informacje, jak testować hipotezy o braku autokorelacji w Gretlu.