Test Durbina Watsona i autokorelacja reszt pierwszego rzędu

Jedną z najpopularniejszych statystyk służących do weryfikacji hipotezy o braku autokorelacji rzędu pierwszego składników zakłócających w modelach statycznych jest statystka Durbina-Watsona. W statystyce tej są możliwe dwa układy hipotez. Jeżeli korelacja reszt w próbie jest dodatnia to:

H₀ : ρ₁ = 0

H_A : ρ₁ > 0

Oznacza to tyle, że jako hipotezę zerową przyjmujemy brak występowania autokorelacji składników losowych, gdyż współczynnik autokorelacji reszt przyjmuje wartości bliskie zeru. Weryfikujemy ją na rzecz hipotezy alternatywnej, która zakłada dodatnie skorelowanie w czasie składników losowych, które jest statystycznie istotne.

Drugim układem hipotez jest:

H₀ : ρ₁ = 0

H_A : ρ₁ < 0

W tym przypadku hipoteza zerowa również wyklucza występowanie korelacji w wartościach reszt modelu. Jednakże w tym układzie, w hipotezie alternatywnej przyjmuje się występowanie statystycznie istotnej, ujemnej autokorelacji.

Statystykę Durbina-Watsona oblicza się jako iloraz sumy kwadratów przyrostów reszt i sumy kwadratów reszt. Po odpowiednich przekształceniach matematycznych, statystykę tę możemy zapisać w przybliżonej postaci jako dwukrotność różnicy 1 oraz współczynnika autokorelacji reszt.

DW = 2(1-ρ₁)

Przybliżenie to jest tym dokładniejsze, im większa liczebność próby.

Statystyka Durbina-Watsona przyjmuje wartości od 0 do 4. Im bliżej wartości skrajnych przedziału występowania DW, tym współczynnik autokorelacji jest bliższy wartości bezwzględnej z 1. Jeżeli DW przyjmuje wartości bliskie 0, to ρ₁ jest bliski jedności, natomiast ρ₁ jest bliski -1, gdy DW równa się 4. Brak autokorelacji składników losowych występuje gdy DW jest równe 2.

Do weryfikacji hipotezy zerowej wykorzystuje się wartości krytyczne d_L oraz d_U. Jeżeli otrzymana wartość DW mieści się w przedziale (d_L;0), to mamy podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej o występowaniu braku autokorelacji, na rzecz hipotezy alternatywnej o występowaniu statystycznie istotnej, dodatniej korelacji składników losowych. Gdy DW mieści się w przedziale (2;d_u) to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Przedział, którego granice wyznaczają d_L oraz d_U, nazywamy obszarem niekonkluzywności. W przypadku, gdy DW należy do tego przedziału, test nie rozstrzyga kwestii autokorelacji, nie możemy podjąć decyzji o zaakceptowaniu, bądź odrzuceniu hipotezy zerowej. Tak jak wcześniej wspomniano, większa liczba obserwacji, skutkuje większą dokładnością przybliżenia statystki DW, co za tym idzie im większa liczebność próby, tym mniejszy obszar niekonkluzywności.

Autorem tekstu jest Martyna Kuligowska